ปัญหาของการไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบมีเงื่อนไขมาตรฐานนิยามว่า:
$$\text{ลดค่า } f_0(x) \\ \text{ภายใต้เงื่อนไข } f_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ Ax = b$$
เราอาจจำลองเขียนใหม่โดยใช้ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ $I_-(u)$ เพื่อรวมข้อจำกัดไว้ในเป้าหมาย อย่างไรก็ตาม $I_-(u)$ เป็นปัญหาสำหรับการคำนวณเชิงอนุพันธ์:
$$I_-(u) = \begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \infty & u > 0 \end{cases}$$
เนื่องจากมันไม่ต่อเนื่องและมีค่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นอนันต์ที่ขอบเขต เราจึงไม่สามารถคำนวณฮีเซียนที่จำเป็นสำหรับ วิธีนิวตันเราต้องการตัวแทนที่สามารถหาอนุพันธ์ได้
การลื่นไหลแบบลอการิธึม
เราประมาณ $I_-(u)$ โดยใช้ฟังก์ชัน:
$$\hat{I}_-(u) = -(1/t) \log(-u), \quad \text{โดเมน } \hat{I}_- = -\mathbf{R}_{++}$$
ที่นี่ $t > 0$ เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดความแม่นยำของการประมาณ เราจะเห็นว่าเมื่อ $t$ มีค่ามากขึ้น บาร์เรียร์จะดูคล้ายฟังก์ชันตัวบ่งชี้จริงมากขึ้น
แตกต่างจากวิธีการที่ใช้ชุดที่กระตือรือร้น วิธีนี้ต้องการให้แต่ละค่าตัวแปร $x$ ยังคงอยู่ใน เป็นไปได้อย่างเคร่งครัด ($f_i(x) < 0$) เนื่องจากลอการิธึมไม่มีค่าสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบ มันจะสร้างบาร์เรียร์ที่ 'ไม่สามารถเจาะทะลุได้' ซึ่งทำให้การค้นหาอยู่ภายในพื้นที่ที่เป็นไปได้